В этой работе предлагается новый взгляд на проблему генерации простых чисел. Используя лишь базовую алгебру и теорию чисел, автор выводит аналитическое выражение, связывающее простое число p с целочисленным параметром K, основанное на малой теореме Ферма. Ключевым шагом является использование W-функции Ламберта для получения явной формулы. Этот подход открывает новые возможности для анализа и генерации простых чисел.
Простые числа — это натуральные числа, большие 1, которые делятся только на 1 и на самих себя. Несмотря на свою простоту, они не подчиняются очевидной закономерности. Веками математики пытались найти «формулу» для простых чисел — выражение, которое гарантированно давало бы простые числа.
Известно, что не существует непостоянного многочлена, принимающего только простые значения. Однако существуют другие подходы, такие как теорема Вильсона или константа Миллса, но они непрактичны. В данной статье предлагается новый метод, основанный на классической малой теореме Ферма.
Малая теорема Ферма утверждает, что если p — простое число, то для любого целого a, не кратного p, выполняется:
Выберем a = 2. Тогда для нечётного простого p:
где K — некоторое целое число. Таким образом, каждому простому p соответствует целое K:
Например:
Обратное неверно: если K целое, то p может быть составным (например, числа Кармайкла). Но для наших целей мы рассматриваем только те K, которые порождены простыми p.
Мы хотим выразить p явно через K. Исходное уравнение:
Для больших p выполнено 2p-1 много больше чем 1, поэтому:
Логарифмируем:
Переносим слагаемые:
Заметим, что левая часть равна ln( 2p / p ). Поэтому:
Теперь решаем относительно p:
Умножаем на -ln(2):
Обозначим z = -p · ln(2). Тогда:
По определению, z = W( - ln(2) / 2K ), где W — функция Ламберта. Следовательно:
Это и есть искомая аналитическая формула.
Функция Ламберта W(z) определяется как решение уравнения W(z) · eW(z) = z. Для отрицательных аргументов (как в нашем случае) необходимо выбирать подходящую ветвь.
Для больших K аргумент -ln(2)/(2K) близок к нулю. Используем приближение W(z) ≈ z для малых z:
Более точное приближение:
где C — постоянная. Например, для K = 93 (при p = 11):
что близко к 11 после добавления поправки.
Точная формула с W-функцией работает лучше для больших p.
Введите значение K (например, 3, 9, 93, 315):
Результаты вычислений появятся здесь.
Мы получили новую формулу записи аналитического представления простых чисел, в которой они выражаются через функцию Ламберта:
где K = (2p-1 - 1) / p. Это представление связывает простые числа с хорошо изученной функцией Ламберта.
Преимущества подхода:
Дальнейшие шаги:
Эта работа демонстрирует, что даже с помощью базовой математики можно получить нетривиальные результаты, углубляющие наше понимание простых чисел.
ID: aaaba6dd56988751928f604c82196d4f55718cdfe8b044e34f274a5ee91b0b95
Отказ от ответственности & Конфиденциальность & Приоритет
Данная страница является исключительно частным исследовательским материалом, плодом интеллектуального труда автора. На момент её публикации автору не были известны аналогичные работы, выражающие простые числа через функцию Ламберта данным конкретным способом. Если подобные работы существуют, приоритет и авторские права, безусловно, остаются за их создателями.
Автор не несёт ответственности за точность вычислений или возможное использование представленной информации. Страница не собирает, не обрабатывает и не хранит никакие персональные данные или файлы cookie.